从1开始,前100个自然数的和是多少?
1+2+3+4+5+6+……+99+100=?
上述的计算式就是一个等差数列,
相邻两项的差值都为1 ,
又称它是一个公差为1的等差数列。
1,2,3,4,5,6……99,100
每一个数都称为数列的项。
从1到100,一共有100个数字。
这个数列就有100个项。
第一项是1,
第二项是2,
第三项是3,
……
第99项是99,
第100项是100。
从1到100数列求和,肯定不能一个一个相加,太麻烦了,也耽误时间。
G老师介绍2种等差数列常用的求和方法。
1、配对法
顾名思义,将其中某些项配成相同的对,达到简化计算的目的。
通过观察数列,
你会发现1+100=2+99=3+98……
第一项与最后一项的和,
第二项与倒数第二项的和,
第三项与倒数第三项的和,
他们都是相等的!
那我们就可以把数列配成对,
看看一共有多少对,
不就能算出他们的和了吗?
(1+100)=101;
(2+99)=101;
(3+98)=101;
(4+97)=101;
……
(50+51)=101;
从其中挑出两项配对组成101,
一共有100个项,
两两配对,
所以,
一共配了100÷2=50对
那么这个从1加到100的数列和我们就得到了,
101×50=5050。
2、倒序相加法
一个等差数列求和,我们让它首尾颠倒后,再相加,这样就会得到一个各项相等的数列,再乘以它的项数,除以2,即可得到数列的和。
G老师纯手写如上图所示,
让上下两个数列相加,
1+100=101;
(2+99)=101;
(3+98)=101;
(4+97)=101;
……
(99+2)=101;
(100+1)=101;
组成的新数列,
每一项都是101;
一共有100项,
那么他的和就是101×100。
所以原数列的和就是:
101×100÷2=5050
【例题】计算 2+4+6+8+10+……+198+200
分析:这个算式中相邻两项的差为2,一共有(200-2)/2+1=100项。可以采用配对法,也可以采用倒序相加法。
2+4+6+8+10+……+198+200
=(200+2)x100÷2
=10100
由上,
我们总结出等差数列的求和一般公式
和=(首项+末项)x项数÷2
公差就是相邻两个项之差,
项数就是数列中全部项有多少个,
项数=(末项-首项)÷公差+1


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